El físico Richard Feynman dijo que "la física forma parte de la verdadera cultura de la humanidad". Accede a la historia y a la actualidad de la gran aventura de la física teórica.
Capítulo 1:
Revoluciones
Puede considerarse al 24 de Mayo de 1543 como el día de inicio de la ciencia experimental, ya que en ese día aparece el libro "De las Revoluciones de los cuerpos celestes", del astrónomo polaco Nicolás Copérnico (1473-1543), coincidiendo con el día de su fallecimiento. En dicho libro propone su modelo de sistema planetario solar heliocéntrico. Mantuvo guardados los manuscritos de su libro, antes de editarlo, durante unos 35 años, por temor a las críticas adversas que podría originar. Sus estudios universitarios, realizados en Cracovia (Polonia) y en Italia, ocupan unos diez años de su vida, obteniendo el grado de doctor en Derecho Canónico (era un sacerdote católico). También estudió medicina.
En griego, la palabra "planeta" significa "errante". Esta denominación se asignó a los cuerpos celestes que describen trayectorias en forma de letra S (vistas desde la Tierra). La antigua astronomía de Claudio Ptolomeo (90-168) supone que la Tierra está inmóvil en el centro del universo y que los planetas describen epiciclos, o trayectorias en forma de hélice. En cambio, Copérnico supone que los planetas se mueven siguiendo órbitas circulares alrededor del Sol. Los planetas cercanos al Sol giran más rápido que los externos. Si se los observa desde la Tierra, respecto de las estrellas lejanas, el movimiento de un planeta exterior se mueve en la ya mencionada trayectoria en forma de S.
En este modelo viene implícita la igualdad entre el reposo y el movimiento rectilíneo uniforme, ya que las trayectorias de los planetas pueden considerarse como parcialmente rectas, debido a su enorme extensión. Además, en la escala de observación humana, los movimientos inerciales son debilitados por las fuerzas de fricción, mientras que, tanto en la escala astronómica como en la escala atómica, no existen dichas fuerzas y el movimiento se prolonga indefinidamente.
Autor: Pompilio Zigrino www.geocities.com/pompiliozigrino
Capítulo 2:
Física experimental
El fundador de la física experimental fue Galileo Galilei (1564-1642). Fue uno de los primeros en asociar relaciones matemáticas al movimiento, creando la ciencia de la cinemática. Fue el primer observador del cielo que utiliza el telescopio. Con dicho instrumento observa que las sombras proyectadas por los cráteres lunares, al ser iluminados por los rayos solares, siguen las mismas leyes físicas que en la Tierra, dando lugar a lo que posteriormente se conocerá como "principio de Galileo", el cual establece la invariabilidad universal de las leyes de la física. En la actualidad podemos afirmar que muchos de los átomos que componen a nuestro cuerpo, alguna vez fueron parte de alguna estrella, ya que el Sol, por su (relativo) reducido tamaño, sólo puede producir (como residuos de la fusión nuclear) átomos de los elementos más simples de la tabla periódica.
Para difundir las evidencias obtenidas utilizando el método experimental, Galileo debe luchar contra la opinión adversa de la Iglesia (que no aceptaba el modelo copernicano) y contra la opinión adversa de los profesores universitarios (que se basaban en la errónea opinión de Aristóteles respecto del movimiento y de sus causas).
Una de esas opiniones era la que afirmaba que los cuerpos pesados caen a Tierra antes que los livianos, si se los deja caer simultáneamente desde igual altura y si se ignora la resistencia del aire al movimiento. Es decir, si M pesa más que m, M caerá antes (según Aristóteles). Sin embargo, si unimos ambas masas (M + m), m retardará a M y la unión caerá en un instante intermedio entre las caídas de M y de m. Por otra parte, como M + m tiene mayor masa que M y que m, deberá caer antes que ambas. Como la opinión aristotélica lleva a una contradicción lógica, se supone que todos los cuerpos caen simultáneamente hacia el suelo. Ello se debe a que los cuerpos que tienen mayor masa (y peso), también presentan mayor inercia (tendencia a mantener su estado de movimiento). Ambos efectos se compensan y todos los cuerpos caen al mismo tiempo.
Galileo describe matemáticamente al movimiento acelerado, en el cual viene implícita la inercia, ya que, el movimiento causado por la fuerza de gravedad es mantenido por la inercia. Al persistir la aplicación de esa fuerza, el móvil se acelera.
También describe la "composición del movimiento". Así, si arrojamos horizontalmente, desde cierta altura, a un objeto, en el sentido horizontal tenderá a moverse inercialmente, a velocidad constante (despreciando la resistencia del aire), mientras que la Tierra le impondrá un movimiento descendente uniformemente acelerado. La trayectoria final ser`la descripta por un movimiento combinado de ambos efectos superpuestos.
Los adversarios de Copérnico aducían que, si la Tierra gira alrededor del Sol, sabiendo que la Luna gira en torno de la Tierra, ésta la "perdería" por el camino. Galileo descubre con su telescopio que Júpiter tiene varios satélites naturales que lo acompañan permanentemente haciendo evidente que un planeta puede moverse sin inconvenientes junto a sus satélites.
Capítulo 3:
Órbitas elípticas
Johannes Kepler (1571-1630) encuentra las leyes que rigen el movimiento de los planetas del sistema planetario solar:
1) Cada planeta se mueve según una órbita elíptica, ocupando el Sol uno de los focos de la elipse.
2) Considerando una recta que va desde un planeta hacia el Sol, en tiempos iguales la línea "barre" áreas iguales.
3) Existe un valor constante para la relación entre el cubo de la distancia media R de un planeta al Sol y el cuadrado del tiempo medio T empleado en dar una vuelta al Sol.
Kepler colabora con el astrónomo experimental Tycho Brahe (1546-1601) quien es el mayor obsevador del cielo antes de la era del telescopio. La diferencia entre las órbitas circulares de Copérnico y las órbitas elípticas de Kepler se hacen evidentes en la observación de un ángulo con una diferencia de apenas 8 minutos. Cualquiera hubiese supuesto un error de observación, pero Kepler conocía el nivel de precisión con que Brahe hacía sus observaciones y pudo así iniciar el camino que llevaría hacia la ley de la gravitación universal.
En la época de Kepler se conocían seis planetas, mientras que los pitagóricos descubrieron la existencia de sólo cinco sólidos regulares, es decir, cuerpos geométricos limitados por una misma figura geométrica. Por ejemplo. el cubo está limitado por cuadrados. Kepler estableció la hipótesis de que los planetas se moverían siguiendo las órbitas circulares sobre las esferas intercaladas entre los sólidos regulares. Esta idea errónea fue su mayor orgullo y fue la que motivó sus intensos trabajos de investigación.
Capítulo 1:
Revoluciones
Puede considerarse al 24 de Mayo de 1543 como el día de inicio de la ciencia experimental, ya que en ese día aparece el libro "De las Revoluciones de los cuerpos celestes", del astrónomo polaco Nicolás Copérnico (1473-1543), coincidiendo con el día de su fallecimiento. En dicho libro propone su modelo de sistema planetario solar heliocéntrico. Mantuvo guardados los manuscritos de su libro, antes de editarlo, durante unos 35 años, por temor a las críticas adversas que podría originar. Sus estudios universitarios, realizados en Cracovia (Polonia) y en Italia, ocupan unos diez años de su vida, obteniendo el grado de doctor en Derecho Canónico (era un sacerdote católico). También estudió medicina.
En griego, la palabra "planeta" significa "errante". Esta denominación se asignó a los cuerpos celestes que describen trayectorias en forma de letra S (vistas desde la Tierra). La antigua astronomía de Claudio Ptolomeo (90-168) supone que la Tierra está inmóvil en el centro del universo y que los planetas describen epiciclos, o trayectorias en forma de hélice. En cambio, Copérnico supone que los planetas se mueven siguiendo órbitas circulares alrededor del Sol. Los planetas cercanos al Sol giran más rápido que los externos. Si se los observa desde la Tierra, respecto de las estrellas lejanas, el movimiento de un planeta exterior se mueve en la ya mencionada trayectoria en forma de S.
En este modelo viene implícita la igualdad entre el reposo y el movimiento rectilíneo uniforme, ya que las trayectorias de los planetas pueden considerarse como parcialmente rectas, debido a su enorme extensión. Además, en la escala de observación humana, los movimientos inerciales son debilitados por las fuerzas de fricción, mientras que, tanto en la escala astronómica como en la escala atómica, no existen dichas fuerzas y el movimiento se prolonga indefinidamente.
Autor: Pompilio Zigrino www.geocities.com/pompiliozigrino
Capítulo 2:
Física experimental
El fundador de la física experimental fue Galileo Galilei (1564-1642). Fue uno de los primeros en asociar relaciones matemáticas al movimiento, creando la ciencia de la cinemática. Fue el primer observador del cielo que utiliza el telescopio. Con dicho instrumento observa que las sombras proyectadas por los cráteres lunares, al ser iluminados por los rayos solares, siguen las mismas leyes físicas que en la Tierra, dando lugar a lo que posteriormente se conocerá como "principio de Galileo", el cual establece la invariabilidad universal de las leyes de la física. En la actualidad podemos afirmar que muchos de los átomos que componen a nuestro cuerpo, alguna vez fueron parte de alguna estrella, ya que el Sol, por su (relativo) reducido tamaño, sólo puede producir (como residuos de la fusión nuclear) átomos de los elementos más simples de la tabla periódica.
Para difundir las evidencias obtenidas utilizando el método experimental, Galileo debe luchar contra la opinión adversa de la Iglesia (que no aceptaba el modelo copernicano) y contra la opinión adversa de los profesores universitarios (que se basaban en la errónea opinión de Aristóteles respecto del movimiento y de sus causas).
Una de esas opiniones era la que afirmaba que los cuerpos pesados caen a Tierra antes que los livianos, si se los deja caer simultáneamente desde igual altura y si se ignora la resistencia del aire al movimiento. Es decir, si M pesa más que m, M caerá antes (según Aristóteles). Sin embargo, si unimos ambas masas (M + m), m retardará a M y la unión caerá en un instante intermedio entre las caídas de M y de m. Por otra parte, como M + m tiene mayor masa que M y que m, deberá caer antes que ambas. Como la opinión aristotélica lleva a una contradicción lógica, se supone que todos los cuerpos caen simultáneamente hacia el suelo. Ello se debe a que los cuerpos que tienen mayor masa (y peso), también presentan mayor inercia (tendencia a mantener su estado de movimiento). Ambos efectos se compensan y todos los cuerpos caen al mismo tiempo.
Galileo describe matemáticamente al movimiento acelerado, en el cual viene implícita la inercia, ya que, el movimiento causado por la fuerza de gravedad es mantenido por la inercia. Al persistir la aplicación de esa fuerza, el móvil se acelera.
También describe la "composición del movimiento". Así, si arrojamos horizontalmente, desde cierta altura, a un objeto, en el sentido horizontal tenderá a moverse inercialmente, a velocidad constante (despreciando la resistencia del aire), mientras que la Tierra le impondrá un movimiento descendente uniformemente acelerado. La trayectoria final ser`la descripta por un movimiento combinado de ambos efectos superpuestos.
Los adversarios de Copérnico aducían que, si la Tierra gira alrededor del Sol, sabiendo que la Luna gira en torno de la Tierra, ésta la "perdería" por el camino. Galileo descubre con su telescopio que Júpiter tiene varios satélites naturales que lo acompañan permanentemente haciendo evidente que un planeta puede moverse sin inconvenientes junto a sus satélites.
Capítulo 3:
Órbitas elípticas
Johannes Kepler (1571-1630) encuentra las leyes que rigen el movimiento de los planetas del sistema planetario solar:
1) Cada planeta se mueve según una órbita elíptica, ocupando el Sol uno de los focos de la elipse.
2) Considerando una recta que va desde un planeta hacia el Sol, en tiempos iguales la línea "barre" áreas iguales.
3) Existe un valor constante para la relación entre el cubo de la distancia media R de un planeta al Sol y el cuadrado del tiempo medio T empleado en dar una vuelta al Sol.
Kepler colabora con el astrónomo experimental Tycho Brahe (1546-1601) quien es el mayor obsevador del cielo antes de la era del telescopio. La diferencia entre las órbitas circulares de Copérnico y las órbitas elípticas de Kepler se hacen evidentes en la observación de un ángulo con una diferencia de apenas 8 minutos. Cualquiera hubiese supuesto un error de observación, pero Kepler conocía el nivel de precisión con que Brahe hacía sus observaciones y pudo así iniciar el camino que llevaría hacia la ley de la gravitación universal.
En la época de Kepler se conocían seis planetas, mientras que los pitagóricos descubrieron la existencia de sólo cinco sólidos regulares, es decir, cuerpos geométricos limitados por una misma figura geométrica. Por ejemplo. el cubo está limitado por cuadrados. Kepler estableció la hipótesis de que los planetas se moverían siguiendo las órbitas circulares sobre las esferas intercaladas entre los sólidos regulares. Esta idea errónea fue su mayor orgullo y fue la que motivó sus intensos trabajos de investigación.
Capítulo 4:
Mecánica y gravitación
Isaac Newton (1642-1727) dijo: "Si he tenido una visión más amplia, es porque me he subido a los hombros de gigantes". Esos gigantes son, sin duda, Galileo y Kepler. Al igual que Kepler, Newton fue un niño prematuro. Se dice que, cuando nació, apenas pesaba un kilogramo. Es considerado como el físico más sobresaliente de la historia. Estableció las leyes de la mecánica, la ley de la gravitación universal, el cálculo infinitesimal, la composición de la luz blanca, etc.
Las leyes básicas de la mecánica newtoniada son:
1) Principio de inercia
2) Ley de la dinámica: Fuerza = Masa x aceleración
3) Acción = reacción
En la segunda ley viene implícita la igualdad dinámica del reposo y del movimiento rectilíneo uniforme, ya que, si la fuerza aplicada es nula, también lo será la aceleración, lo que equivale a una velocidad nula o bien una velocidad constante.
Antes de Newton, los científicos suponían que la fuerza que movía a los planetas tenía la misma dirección del movimiento; incluso se pensaba que eran empujados por "ángeles". A partir de Newton se consideró que la fuerza estaba dirigida hacia el Sol y que el movimiento era inercial, luego aparece Einstein y describe los mencionados movimientos sin considerar fuerza alguna, sino estableciendo que el movimiento es inercial y los planetas se mueven por el espacio-tiempo curvado por efecto del campo gravitacional del Sol.
Si consideramos que un cuerpo se mueve en línea recta, a velocidad constante, decimos que se trata de un "movimiento inercial" (si no hay fuerzas de fricción). Las longitudes recorridas serán proporcionales a los tiempos empleados. Si trazamos un punto exterior a la recta, a una cierta distancia y si, además, trazamos desde el punto algunas rectas de manera que se formen segmentos iguales sobre la recta mencionada en un principio, veremos que se forma una sucesión de triángulos que tienen igual área. La segunda ley de Kepler (áreas iguales barridas en tiempos iguales) fue interpretada por Newton como una consecuencia necesaria de la existencia de un movimiento inercial.
Si arrojamos horizontalmente un objeto, describimos al movimiento como el efecto de dos causas que actúan simultáneamente: un movimiento inercial (en sentido horizontal) y un movimiento uniformemente acelerado (caída a Tierra), tal como fue establecido por Galileo Galilei. La idea de que la gravitación celeste es la misma fuerza que la que produce la gravitación terrestre, aparece cuando Newton supone que la misma fuerza que hace caer manzanas a Tierra, es la que hace "caer" a la Luna hacia la Tierra. Como la Luna mantiene un movimiento inercial, la parábola se conviertenen una circunferencia.
Para la deducción aproximada de la ley de la gravitación universal se puede considerar que los movimientos son circulares. Christian Huygens (1626-1695) encontró la fórmula para calcular la aceleración centrípeta (a = v²/R). Esta aceleración se reemplaza en la fórmula (F = m a). Como el movimiento es circular, la velocidad es la relación entre la longitud de la órbita (2 Pi R) y el tiempo empleado en recorrerla (T). Kepler había descubierto una relación constante en su tercera ley (K = RR²/T²). Agrupando constantes se llega a la ley de la gravitación universal.
(Masa del Sol) x (Masa de la Tierra)
Fuerza = ------------------------------------------
(Distancia)²
En épocas de Newton se conocía un fenómeno que no se podía explicar y que podría llevar a la destrucción del sistema planetario solar: Júpiter aumentaba su velocidad de traslación mientras que Saturno la disminuia. Newton dijo que: "...quizás las irregularidades irán en aumento hasta que el sistema sea de nuevo puesto en orden por su Creador". Debido a la existencia de órbitas elípticas, los planetas se acercan al Sol en una época mientras que se alejan en otra. De ahí que cambia la posición del centro de masa del sistema. Este cambio perturba las órbitas y, en el caso de Júpiter y Saturno, se invierte el adelanto y el atraso con un periodo de 929 años. Tales cálculos los realizó Pierre Simón de Laplace (1749-1827), quien respondió: "No he tenido necesidad de esa hipótesis" cuando Napoleón le preguntó por la supuesta intervención divina mencionada por Newton.
Mecánica y gravitación
Isaac Newton (1642-1727) dijo: "Si he tenido una visión más amplia, es porque me he subido a los hombros de gigantes". Esos gigantes son, sin duda, Galileo y Kepler. Al igual que Kepler, Newton fue un niño prematuro. Se dice que, cuando nació, apenas pesaba un kilogramo. Es considerado como el físico más sobresaliente de la historia. Estableció las leyes de la mecánica, la ley de la gravitación universal, el cálculo infinitesimal, la composición de la luz blanca, etc.
Las leyes básicas de la mecánica newtoniada son:
1) Principio de inercia
2) Ley de la dinámica: Fuerza = Masa x aceleración
3) Acción = reacción
En la segunda ley viene implícita la igualdad dinámica del reposo y del movimiento rectilíneo uniforme, ya que, si la fuerza aplicada es nula, también lo será la aceleración, lo que equivale a una velocidad nula o bien una velocidad constante.
Antes de Newton, los científicos suponían que la fuerza que movía a los planetas tenía la misma dirección del movimiento; incluso se pensaba que eran empujados por "ángeles". A partir de Newton se consideró que la fuerza estaba dirigida hacia el Sol y que el movimiento era inercial, luego aparece Einstein y describe los mencionados movimientos sin considerar fuerza alguna, sino estableciendo que el movimiento es inercial y los planetas se mueven por el espacio-tiempo curvado por efecto del campo gravitacional del Sol.
Si consideramos que un cuerpo se mueve en línea recta, a velocidad constante, decimos que se trata de un "movimiento inercial" (si no hay fuerzas de fricción). Las longitudes recorridas serán proporcionales a los tiempos empleados. Si trazamos un punto exterior a la recta, a una cierta distancia y si, además, trazamos desde el punto algunas rectas de manera que se formen segmentos iguales sobre la recta mencionada en un principio, veremos que se forma una sucesión de triángulos que tienen igual área. La segunda ley de Kepler (áreas iguales barridas en tiempos iguales) fue interpretada por Newton como una consecuencia necesaria de la existencia de un movimiento inercial.
Si arrojamos horizontalmente un objeto, describimos al movimiento como el efecto de dos causas que actúan simultáneamente: un movimiento inercial (en sentido horizontal) y un movimiento uniformemente acelerado (caída a Tierra), tal como fue establecido por Galileo Galilei. La idea de que la gravitación celeste es la misma fuerza que la que produce la gravitación terrestre, aparece cuando Newton supone que la misma fuerza que hace caer manzanas a Tierra, es la que hace "caer" a la Luna hacia la Tierra. Como la Luna mantiene un movimiento inercial, la parábola se conviertenen una circunferencia.
Para la deducción aproximada de la ley de la gravitación universal se puede considerar que los movimientos son circulares. Christian Huygens (1626-1695) encontró la fórmula para calcular la aceleración centrípeta (a = v²/R). Esta aceleración se reemplaza en la fórmula (F = m a). Como el movimiento es circular, la velocidad es la relación entre la longitud de la órbita (2 Pi R) y el tiempo empleado en recorrerla (T). Kepler había descubierto una relación constante en su tercera ley (K = RR²/T²). Agrupando constantes se llega a la ley de la gravitación universal.
(Masa del Sol) x (Masa de la Tierra)
Fuerza = ------------------------------------------
(Distancia)²
En épocas de Newton se conocía un fenómeno que no se podía explicar y que podría llevar a la destrucción del sistema planetario solar: Júpiter aumentaba su velocidad de traslación mientras que Saturno la disminuia. Newton dijo que: "...quizás las irregularidades irán en aumento hasta que el sistema sea de nuevo puesto en orden por su Creador". Debido a la existencia de órbitas elípticas, los planetas se acercan al Sol en una época mientras que se alejan en otra. De ahí que cambia la posición del centro de masa del sistema. Este cambio perturba las órbitas y, en el caso de Júpiter y Saturno, se invierte el adelanto y el atraso con un periodo de 929 años. Tales cálculos los realizó Pierre Simón de Laplace (1749-1827), quien respondió: "No he tenido necesidad de esa hipótesis" cuando Napoleón le preguntó por la supuesta intervención divina mencionada por Newton.
Capítulo 5:
Funciones y cálculo
A las magnitudes físicas tales como espacio, tiempo, velocidad, aceleración, etc, se les asocian entes matemáticos tales como variables continuas, vectores, matrices, etc. Realizando operaciones matemáticas sobre estos entes asociados, se reproduce el ordenamiento existente en los fenómenos naturales. De ahí que la "ley natural humana" (la descripción de la ley natural) en física adquiere una forma matemática. La física teórica es la física del "lápiz y papel", que permite el progreso de esta rama de la ciencia a través de predicciones puramente matemáticas.
En la descripción del movimiento su utilizan variables numéricas ligadas funcionalmente. La ley natural humana vendría a ser el vínculo permanente (función matemática) entre dichas variables.
Para medir el cambio relativo existente entre dos variables ligadas funcionalmente se estableció la operación denominada "derivación". Podemos considerar al cálculo diferencial como un medio para medir la velocidad de cambio del cociente entre dos variables vinculadas mediante una función.
Siendo y = f(x), podemos denominar a (y2 - y1) como el cambio absoluto en la función y(x). Si a este cambio lo dividimos por el cambio correspondiente a la variable (x) tendremos el cambio relativo de y respecto de x:
(y2 - y1) / (x2 - x1)
Para obtener el cambio relativo generalizado, para todos los valores de (x), debemos saltar al límite:
límite (y2 - y1) / (x2 - x1) para x1 tendiendo a x2
Por ejemplo, si tenemos la función y = constante, la gráfica respectiva, en un sistema de coordenadas cartesianas (x,y) tendrá la forma de una recta paralela al eje de las (x). En este caso, el cambio relativo de (y) respecto de (x) es nulo. Por ello la derivada de y = k es y' = 0.
Podemos escribir la segunda ley de Newton como:
Fuerza = Masa x aceleración = masa x d(velocidad) / d(tiempo)
En donde la aceleración es el ritmo de cambio de la velocidad respecto del tiempo.
Existe una operación inversa a la derivación y es la integración. Así como la derivada es una medida del cambio existente entre variables expresado como un cociente de las mismas, la integral es una medida de cómo varía el producto de esas variables. Geométricamente, en un plano, dicho producto es una área. Por ejemplo, si partimos de la función constante y = 1 (recta paralela al eje (x)), al integrarla nos da I = x (recta creciente a 45º). Esto puede interpretarse diciendo que el área correspondiente a y = 1 crece linealmente a medida que nos "movemos por el eje x hacia la derecha". En física también se dice que la integral es el efecto total de un proceso continuo.
Funciones y cálculo
A las magnitudes físicas tales como espacio, tiempo, velocidad, aceleración, etc, se les asocian entes matemáticos tales como variables continuas, vectores, matrices, etc. Realizando operaciones matemáticas sobre estos entes asociados, se reproduce el ordenamiento existente en los fenómenos naturales. De ahí que la "ley natural humana" (la descripción de la ley natural) en física adquiere una forma matemática. La física teórica es la física del "lápiz y papel", que permite el progreso de esta rama de la ciencia a través de predicciones puramente matemáticas.
En la descripción del movimiento su utilizan variables numéricas ligadas funcionalmente. La ley natural humana vendría a ser el vínculo permanente (función matemática) entre dichas variables.
Para medir el cambio relativo existente entre dos variables ligadas funcionalmente se estableció la operación denominada "derivación". Podemos considerar al cálculo diferencial como un medio para medir la velocidad de cambio del cociente entre dos variables vinculadas mediante una función.
Siendo y = f(x), podemos denominar a (y2 - y1) como el cambio absoluto en la función y(x). Si a este cambio lo dividimos por el cambio correspondiente a la variable (x) tendremos el cambio relativo de y respecto de x:
(y2 - y1) / (x2 - x1)
Para obtener el cambio relativo generalizado, para todos los valores de (x), debemos saltar al límite:
límite (y2 - y1) / (x2 - x1) para x1 tendiendo a x2
Por ejemplo, si tenemos la función y = constante, la gráfica respectiva, en un sistema de coordenadas cartesianas (x,y) tendrá la forma de una recta paralela al eje de las (x). En este caso, el cambio relativo de (y) respecto de (x) es nulo. Por ello la derivada de y = k es y' = 0.
Podemos escribir la segunda ley de Newton como:
Fuerza = Masa x aceleración = masa x d(velocidad) / d(tiempo)
En donde la aceleración es el ritmo de cambio de la velocidad respecto del tiempo.
Existe una operación inversa a la derivación y es la integración. Así como la derivada es una medida del cambio existente entre variables expresado como un cociente de las mismas, la integral es una medida de cómo varía el producto de esas variables. Geométricamente, en un plano, dicho producto es una área. Por ejemplo, si partimos de la función constante y = 1 (recta paralela al eje (x)), al integrarla nos da I = x (recta creciente a 45º). Esto puede interpretarse diciendo que el área correspondiente a y = 1 crece linealmente a medida que nos "movemos por el eje x hacia la derecha". En física también se dice que la integral es el efecto total de un proceso continuo.
Capítulo 6:
Ondas
La materia se presenta al físico bajo dos formas básicas: una es la continua y la otra la discontinua. El aspecto continuo lo presentan los líquidos (alrededor del agua hay agua), mientras que al aspecto discontinuo lo presentan las partículas (alrededor de una piedra hay aire). Así como la segunda ley de Newton es la ley básica del movimiento de las partículas, ha de existir también una ley básica para el movimiento en los medios continuos, tal el caso de la ecuación de onda de D'Alembert. El físico y matemático Jean Le Rond D'Alembert (1717-1783) fue abandonado por su madre, luego de nacer, en las puertas de la Iglesia de Saint Jean Le Rond, de donde deriva el nombre que le dieron sus padres adoptivos.
Así como una ecuación algebraica es una igualdad condicional, ya que se cumple sólo para algunos números (raíces de la ecuación), es posible también realizar "ecuaciones diferenciales", que también son igualdades condicionales. En este caso, al estar constituidas por derivadas de funciones, sus soluciones serán justamente algunas funciones que hacen verificar la igualdad. La ecuación de ondas es, precisamente, una ecuación diferencial y tiene, en física, una importancia tan grande como la ley que describe el movimiento de las partículas materiales.
Para una onda que se mueve en la dirección del eje (x), en un medio continuo, caracterizado por una magnitud u(x,t) (u es una función del espacio y del tiempo), la ecuación diferencial será la siguiente:
d²u / dx² = (1/v²) (d²u / dt²)
en este caso son derivadas parciales (no indicadas con el símbolo usual por falta del mismo). En el caso de las derivadas parciales, se deriva respecto de la variable indicada considerando constante a la otra, mientras que v es la velocidad de propagación de la perturbación. La solución general de esta ecuación es de la forma:
u = U sen 2 Pi (x / lambda - t / T)
U es el valor máximo, o amplitud del movimiento, lambda es la longitud de onda y T es el periodo de la onda senoidal. En esta solución aparece una "periodicidad espacial" (si detenemos al tiempo, como si sacásemos una fotografía, aparece una forma senoidal) y también una "periodicidad temporal" (si nos detenemos en un punto del espacio, la magnitud u varía en en el tiempo en forma senoidal.
A la periodicidad espacial se la caracteriza por el "número de onda", mientras que a la periodicidad temporal se la caracteriza mediante la "velocidad angular":
Número de onda k = 2 Pi / lambda
Velocidad angular omega = 2 Pi / T
Luego u = U sen (k x - omega t) = U sen Ø
siendo Ø la fase del movimiento periódico.
Capítulo 7:
Mecánica analítica
La mecánica newtoniana es esencialmente una mecánica vectorial cuyas magnitudes básicas son la fuerza (F) y la cantidad de movimiento (p ). A partir de Goodfried Leibniz (1646-1716) comienza a buscarse una mecánica escalar cuyas magnitudes básicas serán la energía cinética y la potencial.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) logró establecer una nueva formulación de la mecánica que aparece en su libro "Mecánica analítica" en cuya introducción indica: "...en esta obra no encontrará gráficos". Utiliza como magnitudes básicas al espacio (x) y a la velocidad (v) logrando una mecánica escalar que sigue la tendencia iniciada por Leibniz.
Debe aclararse que la mecánica de Lagrange utiliza "coordenadas generalizadas" y a sus respectivas derivadas. Así, puede describirse al movimiento circular en base a ángulo y a velocidad angular con un tratamiento matemático idéntico al utilizado para la descripción del movimiento lineal; puede decirse que unifica al movimiento lineal con el circular. Incluso la descripción de Lagrange se adapta a cualquier tipo de coordenadas, ya sean cartesianas, polares, cilíndricas, etc., y su forma matemática permanece invariante en una traslación de coordenadas a velocidad uniforme, lo que la hace apta para la mecánica relativista.
La ecuación básica (para cada grado de libertad del sistema) es la denominada "ecuación de Euler-Lagrange":
d / dt (dL/dv) - (dL/dx) = 0 siendo L = T - U
(Las derivadas de L respecto de v y de x son derivadas parciales).
En este caso se hace referencia al movimiento lineal, mientras que L (función de Lagrange o lagrangiano) es la diferencia entre la energía cinética T y la energía potencial U. Realizando las operaciones indicadas se obtienen las leyes de Newton de la mecánica.
Si tuviésemos que sintetizar con muy pocas palabras a todo el desarrollo de la física teórica, desde sus inicios hasta nuestros días, podríamos decir que ha consistido en buscar, en diversas situaciones, a la función de Lagrange para ser introducida en la ecuación de Euler-Lagrange para permitirnos encontrar todas las ecuaciones importantes de la física teórica; incluso varios principios de conservación vienen implícitos en esta maravillosa ecuación diferencial. En realidad, históricamente no se ha procedido de esa manera sino que, indirectamente, en ello ha consistido el progreso de la física teórica.
Capítulo 8:
Hamilton
La dinámica de Newton aparece en el siglo XVII, la dinámica de Lagrange es del siglo XVIII, mientras que la tercera formulación de la dinámica se debe a William R. Hamilton (1805-1865) y fue realizada durante el siglo XIX. Las tres descripciones son equivalentes, si bien las formulaciones de Hamilton y de Lagrange se aplicarán fuera del ámbito original en donde fueron planteadas (más precisamente en el mundo atómico y nuclear).
Hamilton describe los fenómenos mecánicos considerando dos magnitudes básicas: la cantidad de movimiento (p) y el espacio (x). Las ecuaciones son las siguientes:
dx / dt = dH / dp dp / dt = - dH / dx siendo H = T + U
(Las derivadas de H respecto de p y de x son derivadas parciales)
En donde H es la función de Hamilton, o hamiltoniano. T y U son las energías cinética y potencial, respectivamente. A partir de esta formulación pueden reencontrarse las fórmulas de la dinámica newtoniana y de la lagrangiana.
Cuando se habla de la "mecánica clásica" se hace referencia a la "mecánica de Newton-Lagrange-Hamilton", en la que no se han hecho las "correcciones relativistas" ni las "correcciones cuánticas" que han de caracterizar al desarrollo de la física teórica del siglo XX.
En 1825, Hamilton descubre una importante analogía entre la óptica y la mecánica. Una de las ecuaciones obtenidas por Hamilton, junto a Carl Jacobi (1804-1851), incluye a la acción S (energía x tiempo) como magnitud física fundamental. Tal ecuación, para el movimiento de una masa en la dirección x, es la siguiente:
(dS / dx)² = 2 m (E - U)
(es una derivada parcial). Mientras que en la óptica se conocía una ecuación similar:
(du / dx)² = n² / c²
(es una derivada parcial), en donde u es una magnitud asociada a una onda transversal, n es el índice de refracción y c la velocidad de propagación de la luz.
A partir de estas ecuaciones se comprobó que un rayo luminoso resulta ser (desde el punto de vista de la óptica ondulatoria) una trayectoria perpendicular a los frentes de onda esféricos emitidos por una fuente luminosa puntual. Tales frentes de onda son superficies de igual fase. Por otra parte, la trayectoria que describe una partícula que se mueve en el campo gravitacional de la Tierra resulta ser perpendicular a las superficies de igual acción.
La propagación de los rayos luminosos cumple con el principio del tiempo mínimo establecido por Pierre de Fermat (1601-1665), mientras que el movimiento de una partícula como la mencionada, sigue el principio de mínima acción establecido originalmente por Pierre de Maupertuis (1698-1759) y perfeccionado por varios físicos posteriores.
A partir de esta analogía se produce una vinculación matemática entre el movimiento en medios continuos (ondas) y el movimiento en medios discontinuos (partículas). Esta analogía, sintetizada a continuación, ha de tener influencia posterior en la física aplicada al átomo y al núcleo atómico, pero esta vez a través de un vínculo concreto entre magnitudes físicas asociadas a ambos tipos de movimiento, lo que se conocerá como la dualidad onda-partícula.
ONDAS LUMINOSAS PARTÍCULAS
Rayo luminoso Trayectoria
Principio del tiempo mínimo Principio de mínima acción
Frecuencia Energía
Velocidad de grupo Velocidad de la partícula
Fase Acción
Número de onda Cantidad de movimiento
Ya en el siglo XIX comienza a vislumbrarse una tendencia que es necesario tener presente para seguir el desarrollo histórico de la física. Para comprender los trabajos de Kepler, Galileo o Newton, miramos las fórmulas pensando en los fenómenos, ya que es posible tener una imagen mental bastante cercana a la realidad. El cambio de actitud consiste en imaginar los fenómenos pensando en las fórmulas. La analogía descripta surgió al realizarse un análisis teórico, o matemático, antes que establecer una asociación de imágenes surgidas de los propios fenómenos naturales.
Ondas
La materia se presenta al físico bajo dos formas básicas: una es la continua y la otra la discontinua. El aspecto continuo lo presentan los líquidos (alrededor del agua hay agua), mientras que al aspecto discontinuo lo presentan las partículas (alrededor de una piedra hay aire). Así como la segunda ley de Newton es la ley básica del movimiento de las partículas, ha de existir también una ley básica para el movimiento en los medios continuos, tal el caso de la ecuación de onda de D'Alembert. El físico y matemático Jean Le Rond D'Alembert (1717-1783) fue abandonado por su madre, luego de nacer, en las puertas de la Iglesia de Saint Jean Le Rond, de donde deriva el nombre que le dieron sus padres adoptivos.
Así como una ecuación algebraica es una igualdad condicional, ya que se cumple sólo para algunos números (raíces de la ecuación), es posible también realizar "ecuaciones diferenciales", que también son igualdades condicionales. En este caso, al estar constituidas por derivadas de funciones, sus soluciones serán justamente algunas funciones que hacen verificar la igualdad. La ecuación de ondas es, precisamente, una ecuación diferencial y tiene, en física, una importancia tan grande como la ley que describe el movimiento de las partículas materiales.
Para una onda que se mueve en la dirección del eje (x), en un medio continuo, caracterizado por una magnitud u(x,t) (u es una función del espacio y del tiempo), la ecuación diferencial será la siguiente:
d²u / dx² = (1/v²) (d²u / dt²)
en este caso son derivadas parciales (no indicadas con el símbolo usual por falta del mismo). En el caso de las derivadas parciales, se deriva respecto de la variable indicada considerando constante a la otra, mientras que v es la velocidad de propagación de la perturbación. La solución general de esta ecuación es de la forma:
u = U sen 2 Pi (x / lambda - t / T)
U es el valor máximo, o amplitud del movimiento, lambda es la longitud de onda y T es el periodo de la onda senoidal. En esta solución aparece una "periodicidad espacial" (si detenemos al tiempo, como si sacásemos una fotografía, aparece una forma senoidal) y también una "periodicidad temporal" (si nos detenemos en un punto del espacio, la magnitud u varía en en el tiempo en forma senoidal.
A la periodicidad espacial se la caracteriza por el "número de onda", mientras que a la periodicidad temporal se la caracteriza mediante la "velocidad angular":
Número de onda k = 2 Pi / lambda
Velocidad angular omega = 2 Pi / T
Luego u = U sen (k x - omega t) = U sen Ø
siendo Ø la fase del movimiento periódico.
Capítulo 7:
Mecánica analítica
La mecánica newtoniana es esencialmente una mecánica vectorial cuyas magnitudes básicas son la fuerza (F) y la cantidad de movimiento (p ). A partir de Goodfried Leibniz (1646-1716) comienza a buscarse una mecánica escalar cuyas magnitudes básicas serán la energía cinética y la potencial.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) logró establecer una nueva formulación de la mecánica que aparece en su libro "Mecánica analítica" en cuya introducción indica: "...en esta obra no encontrará gráficos". Utiliza como magnitudes básicas al espacio (x) y a la velocidad (v) logrando una mecánica escalar que sigue la tendencia iniciada por Leibniz.
Debe aclararse que la mecánica de Lagrange utiliza "coordenadas generalizadas" y a sus respectivas derivadas. Así, puede describirse al movimiento circular en base a ángulo y a velocidad angular con un tratamiento matemático idéntico al utilizado para la descripción del movimiento lineal; puede decirse que unifica al movimiento lineal con el circular. Incluso la descripción de Lagrange se adapta a cualquier tipo de coordenadas, ya sean cartesianas, polares, cilíndricas, etc., y su forma matemática permanece invariante en una traslación de coordenadas a velocidad uniforme, lo que la hace apta para la mecánica relativista.
La ecuación básica (para cada grado de libertad del sistema) es la denominada "ecuación de Euler-Lagrange":
d / dt (dL/dv) - (dL/dx) = 0 siendo L = T - U
(Las derivadas de L respecto de v y de x son derivadas parciales).
En este caso se hace referencia al movimiento lineal, mientras que L (función de Lagrange o lagrangiano) es la diferencia entre la energía cinética T y la energía potencial U. Realizando las operaciones indicadas se obtienen las leyes de Newton de la mecánica.
Si tuviésemos que sintetizar con muy pocas palabras a todo el desarrollo de la física teórica, desde sus inicios hasta nuestros días, podríamos decir que ha consistido en buscar, en diversas situaciones, a la función de Lagrange para ser introducida en la ecuación de Euler-Lagrange para permitirnos encontrar todas las ecuaciones importantes de la física teórica; incluso varios principios de conservación vienen implícitos en esta maravillosa ecuación diferencial. En realidad, históricamente no se ha procedido de esa manera sino que, indirectamente, en ello ha consistido el progreso de la física teórica.
Capítulo 8:
Hamilton
La dinámica de Newton aparece en el siglo XVII, la dinámica de Lagrange es del siglo XVIII, mientras que la tercera formulación de la dinámica se debe a William R. Hamilton (1805-1865) y fue realizada durante el siglo XIX. Las tres descripciones son equivalentes, si bien las formulaciones de Hamilton y de Lagrange se aplicarán fuera del ámbito original en donde fueron planteadas (más precisamente en el mundo atómico y nuclear).
Hamilton describe los fenómenos mecánicos considerando dos magnitudes básicas: la cantidad de movimiento (p) y el espacio (x). Las ecuaciones son las siguientes:
dx / dt = dH / dp dp / dt = - dH / dx siendo H = T + U
(Las derivadas de H respecto de p y de x son derivadas parciales)
En donde H es la función de Hamilton, o hamiltoniano. T y U son las energías cinética y potencial, respectivamente. A partir de esta formulación pueden reencontrarse las fórmulas de la dinámica newtoniana y de la lagrangiana.
Cuando se habla de la "mecánica clásica" se hace referencia a la "mecánica de Newton-Lagrange-Hamilton", en la que no se han hecho las "correcciones relativistas" ni las "correcciones cuánticas" que han de caracterizar al desarrollo de la física teórica del siglo XX.
En 1825, Hamilton descubre una importante analogía entre la óptica y la mecánica. Una de las ecuaciones obtenidas por Hamilton, junto a Carl Jacobi (1804-1851), incluye a la acción S (energía x tiempo) como magnitud física fundamental. Tal ecuación, para el movimiento de una masa en la dirección x, es la siguiente:
(dS / dx)² = 2 m (E - U)
(es una derivada parcial). Mientras que en la óptica se conocía una ecuación similar:
(du / dx)² = n² / c²
(es una derivada parcial), en donde u es una magnitud asociada a una onda transversal, n es el índice de refracción y c la velocidad de propagación de la luz.
A partir de estas ecuaciones se comprobó que un rayo luminoso resulta ser (desde el punto de vista de la óptica ondulatoria) una trayectoria perpendicular a los frentes de onda esféricos emitidos por una fuente luminosa puntual. Tales frentes de onda son superficies de igual fase. Por otra parte, la trayectoria que describe una partícula que se mueve en el campo gravitacional de la Tierra resulta ser perpendicular a las superficies de igual acción.
La propagación de los rayos luminosos cumple con el principio del tiempo mínimo establecido por Pierre de Fermat (1601-1665), mientras que el movimiento de una partícula como la mencionada, sigue el principio de mínima acción establecido originalmente por Pierre de Maupertuis (1698-1759) y perfeccionado por varios físicos posteriores.
A partir de esta analogía se produce una vinculación matemática entre el movimiento en medios continuos (ondas) y el movimiento en medios discontinuos (partículas). Esta analogía, sintetizada a continuación, ha de tener influencia posterior en la física aplicada al átomo y al núcleo atómico, pero esta vez a través de un vínculo concreto entre magnitudes físicas asociadas a ambos tipos de movimiento, lo que se conocerá como la dualidad onda-partícula.
ONDAS LUMINOSAS PARTÍCULAS
Rayo luminoso Trayectoria
Principio del tiempo mínimo Principio de mínima acción
Frecuencia Energía
Velocidad de grupo Velocidad de la partícula
Fase Acción
Número de onda Cantidad de movimiento
Ya en el siglo XIX comienza a vislumbrarse una tendencia que es necesario tener presente para seguir el desarrollo histórico de la física. Para comprender los trabajos de Kepler, Galileo o Newton, miramos las fórmulas pensando en los fenómenos, ya que es posible tener una imagen mental bastante cercana a la realidad. El cambio de actitud consiste en imaginar los fenómenos pensando en las fórmulas. La analogía descripta surgió al realizarse un análisis teórico, o matemático, antes que establecer una asociación de imágenes surgidas de los propios fenómenos naturales.
Capítulo 9:
Electricidad y magnetismo
Christian Oersted (1777-1851) descubre que, junto a un conductor metálico que conduce una corriente eléctrica, aparece un campo magnético capaz de desviar la aguja de una brújula. Este vínculo entre electricidad (en movimiento) y magnetismo fue descripto matemáticamente por André-Marie Ampére (1775-1836). El paso siguiente habría de darse encontrando un vínculo entre magnetismo y electricidad, es decir, a partir de un campo magnético habría de obtenerse algún fenómeno eléctrico.
Michael Faraday (1791-1867) utilizó dos bobinas arrolladas sobre un núcleo de hierro (lo que ahora denominamos transformador) y le conectó al primario una fuente de tensión continua. En el momento de cerrar el circuito, se produce un aumento de la corriente y una expansión del campo magnético y aparece una tensión eléctrica en el bobinado secundario (aguja del voltímetro hacia la derecha). Cuando el interruptor queda cerrado, hay corriente, hay campo magnético, pero no hay variación del mismo. Tampoco hay tensión en el secundario (aguja en cero). Cuando se abre el interruptor, el campo magnético se contrae y aparece una tensión de polaridad opuesta a la del primer caso (aguja hacia la izquierda). De esta experiencia se concluye que la tensión inducida depende de la velocidad de variación del flujo magnético asociado a un bobinado:
d(flujo magnético)
Tensión = N -----------------------------
d(tiempo)
N es el número de vueltas del bobinado. Esta ley también está asociada a los nombres de Joseph Henry (1797-1878) y Heinrich Lenz (1804-1865).
El concepto de "campo de fuerza" es introducido en la física por Faraday. Generalmente se piensa que todo descubrimiento implica conocer, por parte del descubridor, la casi totalidad de la rama de la física correspondiente. Sin embargo, como Faraday no había asistido a la universidad, desconocía el cálculo infinitesimal y mucho le costaba comprender los artículos de los físicos franceses (Ampére, Biot, etc.) pioneros en ese campo. Esas circunstancias lo obligan a describir los fenómenos electromagnéticos con el concepto mencionado. A partir de Faraday se deja de lado la "acción a distancia" y se describen las interacciones diciendo que la partícula A crea un campo de fuerzas que actúa sobre la partícula B.
Capítulo 10:
El capacitor de Maxwell
Si conectamos un capacitor a un generador de tensión alterna, existirá una corriente alterna por el circuito asociado al capacitor (corriente de carga y descarga. Sin embargo, a través del aislante (entre las placas del capacitor), no podrá haber circulación de cargas eléctricas (corriente eléctrica).
Cada vez que exista una corriente eléctrica, aparecerá un campo magnético que la rodea. Por lo tanto, habría un campo magnético alrededor de todo el circuito, excepto en la zona que corresponde al aislante. Entonces James Clerk Maxwell (1831-1879) pensó que podía establecerse la continuidad del campo magnético si se supone que tal campo no sólo es producido por una corriente eléctrica, sino también por una variación de campo eléctrico no asociado al movimiento de cargas eléctricas, como sucede en el espacio comprendido entre las placas del capacitor.
La existencia de estas "corrientes de desplazamiento" fueron previstas por Maxwell observando las ecuaciones de la electricidad y del magnetismo de su época. Esto se debe a que, al existir el nuevo fenómeno antes mencionado, cumplirían idéntico papel matemático las magnitudes asociadas tanto al campo eléctrico como al campo magnético. Así, las nuevas leyes del electromagnetismo permitirían la existencia de ondas electromagnéticas. Maxwell calculó la velocidad de propagación de dichas ondas y resultó coincidir con la velocidad de propagación de la luz, concluyendo que la luz es también un fenómeno electromagnético. De esta forma se produjo la unificación de la radiación con el electromagnetismo.
Capítulo 11:
Ecuaciones de Maxwell
El conjunto de ecuaciones vectoriales que permitieron describir la mayor parte de los fenómenos electromagnéticos concoidos, se conoce como las "ecuaciones de Maxwell", y son las siguientes:
(1) div E = ro
(2) div B = 0
(3) rot B = J + dE / dt (derivada parcial)
(4) rot E = - dB / dt (derivada parcial)
Así como un vector está caracterizado por tres números (componentes según un sistema de coordenadas), las ecuaciones del cálculo vectorial, utilizado en electromagnetismo, agrupan varias ecuaciones del cálculo diferencial, de ahí que da lugar a nuevas operaciones matemáticas, como las indicadas.
El cálculo vectorial permite describir a los campos de fuerzas asociando un vector a cada punto del espacio. Por ejemplo, si consideramos el caso de un río que lleva cierto caudal de agua, en cada punto del cauce podemos asociar el vector velocidad y así tendremos un campo vectorial de velocidades.
Mediante una pequeña rueda exploradora podremos saber si existen torbellinos que tiendan a hacerla girar. El sentido del giro, la velocidad angular y la orientación del eje de la ruedita exploradora constituirán otro campo vectorial que será el rotor del campo de velocidades. Si no se forman torbellinos, caracterizaremos a ese campo de velocidades diciendo que rot v = 0. Cuando se destapa la salida ubicada en el fondo de un recipiente con agua, tendremos un rotor no nulo cuyo vector resultante será coincidente con el centro de la abertura.
El gradiente de un campo vectorial es la máxima derivada direccional en un punto de la misma. Para comprender su significado consideremos al campo vectorial constituido por la fuerza de gravedad. Además, consideremos una pequeña bolita que es abandonada en la ladera de una montaña. El movimiento de esa bolita exploradora determinará la máxima pendiente. Así, en cada punto de la montaña podremos asociar un vector y tendremos al campo vectorial gradiente.
Para saber cuántas líneas de fuerza eléctrica parten (o entran) de una carga eléctrica, podemos encerrarla con una esfera imaginaria y así podremos "contar" las líneas mencionadas. Si, con la esfera medidora, encerramos a una carga positiva, la divergencia tendrá un valor distinto de cero, mientras que si encerramos igual cantidad de cargas positivas como negativas, la divergencia será nula. La divergencia se aplica a los campos vectoriales, pero su resultado no es un vector, sino un número (magnitud escalar).
Respecto de las ecuaciones de Maxwell, podemos interpretarlas de la siguiente manera: la primera indica que las cargas eléctricas (cuya densidad volumétrica se indica en el miembro derecho de la igualdad) producen un campo vectorial eléctrico E, cuyas líneas de fuerza tienen origen y fin. La segunda indica que un campo magnético estático está constituido por líneas de fuerzas cerradas (sin origen ni fin). Estas ecuaciones se justifican mediante el teorema de Gauss (por Carl Gauss (1777-1855) ). La tercera es la ecuación de Ampere-Maxwell e indica que a un campo magnético B lo produce la circulación de una densidad de corriente eléctrica J y también una variación temporal del campo eléctrico E, tal como se vio antes. La cuarta indica que a un campo eléctrico dinámico E lo produce un campo magnético variable B, lo que constituye la ley de inducción electromagnética de Faraday.
Hendrk Lorentz (1853-1928) agrega a estas ecuaciones una quinta, la que expresa a la fuerza de Lorentz y que se utiliza en la descripción del movimiento de partículas cargadas eléctricamente moviéndose en campos eléctricos y magnéticos.
Capítulo 12:
Potenciales y lagrangiano
En la mecánica podemos vincular a la energía potencial gravitacional con la fuerza de gravedad mediante la siguiente expresión:
Fuerza = - grad U = - gU
siendo gU = dU / dx + dU / dy + dU / dz (derivadas parciales)
Decimos que la fuerza es el gradiente de la energía potencial gravitatoria. Esta igualdad puede comprenderse considerando la existencia de superficies equipotenciales, que serían superficies de igual nivel (como las marcas que deja el agua al sumergir parcialmente a una montaña). El gradiente resulta ser un campo vectorial perpendicular a las superficies de nivel, que en realidad son esferas concéntricas con la Tierra. En cuanto al signo menos, debemos tener presente que al alejarnos de la Tierra, aumenta la energía potencial, mientras que las líneas de fuerza gravitacionales tienen sentido opuesto a ese crecimiento de U.
Si buscamos la divergencia de dicha fuerza, en una zona en donde no existe distribución de masa, dicha divergencia será nula (ya que en la esfera medidora entran tantas líneas de fuerza como las que salen de ella). Aplicando nuevamente el operador vectorial nabla (g) tendremos:
div F = g. F = 0 o también g²U = 0
esta última es la ecuación de Laplace, mientras que si realizamos una evaluación similar en zonas en donde existe una distribución de masa distinta de cero, tendremos:
g²U = Ø
Esta es la ecuación de Poisson (por Denis Poisson (1781-1840))
Para obtener las ecuaciones de Laplace y de Poisson en electrostática, se definió previamente al potencial escalar eléctrico V, de tal manera que:
E = - gV g²V = 0 g²V = ro
lo que da lugar a la ecuación de Laplace para zonas en donde no hay cargas eléctricas y a la ecuación de Poisson para lugares con densidad de carga distinta de cero.
Para obtener algunas ventajas matemáticas posteriores, se definió también al potencial vectorial magnético A, que está vinculado a la densidad de flujo magnético B, de la siguiente forma:
B = rot A = g x A
Pudo establecerse la anterior igualdad ya que, en la segunda ecuación de Maxwell, al ser div B = 0, puede aplicarse una identidad del cálculo vectorial que indica que la divergencia de un rotor es siempre nula. Al adoptar este potencial vectorial, la intensidad de campo eléctrico quedará:
E = - gV - dA / dt (derivada parcial)
Debido a que el rotor implica derivadas parciales respecto de las coordenadas espaciales x, y, z, si al potencial vectorial le agregamos el gradiente de una función arbitraria, no cambiará el valor de los campos B y E. Esto se debe a que siempre se cumple que rot grad f = 0, cualquiera sea f, luego:
A = A' + gX V = V' - (1 / c) dX / dt (derivada parcial)
Estas últimas igualdades, que permiten introducir una función arbitraria, se conocen como transformación gauge electromagnética, que es una calibración invariante. Junto a la transformación gauge cuántica habrá de desempeñar un importante papel en la física del siglo XX.
Para la descrpción de la radiación de ondas electromagnéticas se establece la condición de Lorentz, que vincula ambos potenciales:
div A = - (1 / c²) dV / dt (derivada parcial)
Es oportuno destacar que es posible encontrar un lagrangiano de Maxwell, el que, al ser introducido en la ecuación de Euler-Lagrange, permite encontrar las ecuaciones de Maxwell. Debe aclararse que, en el caso de los campos de fuerzas, el lagrangiano es una densidad de energía. La función mencionada es la siguiente:
L = 1/2 (E² - B²) - (ro) V + J A
A la primera parte la llamaremos Lem (lagrangiano del campo electromagnético), es decir, a 1/2 (E² - B²), y al resto le llamaremos Lint (lagrangiano de la interacción). Tal interacción es la de dicho campo y las fuentes que lo producen (densidad de cargas y corrientes). Esta distinción es importante para aplicaciones posteriores.
Podemos decir que toda la física clásica (mecánica y electromagnetismo) puede describirse a partir de la ecuación de Euler-Lagrange.
Electricidad y magnetismo
Christian Oersted (1777-1851) descubre que, junto a un conductor metálico que conduce una corriente eléctrica, aparece un campo magnético capaz de desviar la aguja de una brújula. Este vínculo entre electricidad (en movimiento) y magnetismo fue descripto matemáticamente por André-Marie Ampére (1775-1836). El paso siguiente habría de darse encontrando un vínculo entre magnetismo y electricidad, es decir, a partir de un campo magnético habría de obtenerse algún fenómeno eléctrico.
Michael Faraday (1791-1867) utilizó dos bobinas arrolladas sobre un núcleo de hierro (lo que ahora denominamos transformador) y le conectó al primario una fuente de tensión continua. En el momento de cerrar el circuito, se produce un aumento de la corriente y una expansión del campo magnético y aparece una tensión eléctrica en el bobinado secundario (aguja del voltímetro hacia la derecha). Cuando el interruptor queda cerrado, hay corriente, hay campo magnético, pero no hay variación del mismo. Tampoco hay tensión en el secundario (aguja en cero). Cuando se abre el interruptor, el campo magnético se contrae y aparece una tensión de polaridad opuesta a la del primer caso (aguja hacia la izquierda). De esta experiencia se concluye que la tensión inducida depende de la velocidad de variación del flujo magnético asociado a un bobinado:
d(flujo magnético)
Tensión = N -----------------------------
d(tiempo)
N es el número de vueltas del bobinado. Esta ley también está asociada a los nombres de Joseph Henry (1797-1878) y Heinrich Lenz (1804-1865).
El concepto de "campo de fuerza" es introducido en la física por Faraday. Generalmente se piensa que todo descubrimiento implica conocer, por parte del descubridor, la casi totalidad de la rama de la física correspondiente. Sin embargo, como Faraday no había asistido a la universidad, desconocía el cálculo infinitesimal y mucho le costaba comprender los artículos de los físicos franceses (Ampére, Biot, etc.) pioneros en ese campo. Esas circunstancias lo obligan a describir los fenómenos electromagnéticos con el concepto mencionado. A partir de Faraday se deja de lado la "acción a distancia" y se describen las interacciones diciendo que la partícula A crea un campo de fuerzas que actúa sobre la partícula B.
Capítulo 10:
El capacitor de Maxwell
Si conectamos un capacitor a un generador de tensión alterna, existirá una corriente alterna por el circuito asociado al capacitor (corriente de carga y descarga. Sin embargo, a través del aislante (entre las placas del capacitor), no podrá haber circulación de cargas eléctricas (corriente eléctrica).
Cada vez que exista una corriente eléctrica, aparecerá un campo magnético que la rodea. Por lo tanto, habría un campo magnético alrededor de todo el circuito, excepto en la zona que corresponde al aislante. Entonces James Clerk Maxwell (1831-1879) pensó que podía establecerse la continuidad del campo magnético si se supone que tal campo no sólo es producido por una corriente eléctrica, sino también por una variación de campo eléctrico no asociado al movimiento de cargas eléctricas, como sucede en el espacio comprendido entre las placas del capacitor.
La existencia de estas "corrientes de desplazamiento" fueron previstas por Maxwell observando las ecuaciones de la electricidad y del magnetismo de su época. Esto se debe a que, al existir el nuevo fenómeno antes mencionado, cumplirían idéntico papel matemático las magnitudes asociadas tanto al campo eléctrico como al campo magnético. Así, las nuevas leyes del electromagnetismo permitirían la existencia de ondas electromagnéticas. Maxwell calculó la velocidad de propagación de dichas ondas y resultó coincidir con la velocidad de propagación de la luz, concluyendo que la luz es también un fenómeno electromagnético. De esta forma se produjo la unificación de la radiación con el electromagnetismo.
Capítulo 11:
Ecuaciones de Maxwell
El conjunto de ecuaciones vectoriales que permitieron describir la mayor parte de los fenómenos electromagnéticos concoidos, se conoce como las "ecuaciones de Maxwell", y son las siguientes:
(1) div E = ro
(2) div B = 0
(3) rot B = J + dE / dt (derivada parcial)
(4) rot E = - dB / dt (derivada parcial)
Así como un vector está caracterizado por tres números (componentes según un sistema de coordenadas), las ecuaciones del cálculo vectorial, utilizado en electromagnetismo, agrupan varias ecuaciones del cálculo diferencial, de ahí que da lugar a nuevas operaciones matemáticas, como las indicadas.
El cálculo vectorial permite describir a los campos de fuerzas asociando un vector a cada punto del espacio. Por ejemplo, si consideramos el caso de un río que lleva cierto caudal de agua, en cada punto del cauce podemos asociar el vector velocidad y así tendremos un campo vectorial de velocidades.
Mediante una pequeña rueda exploradora podremos saber si existen torbellinos que tiendan a hacerla girar. El sentido del giro, la velocidad angular y la orientación del eje de la ruedita exploradora constituirán otro campo vectorial que será el rotor del campo de velocidades. Si no se forman torbellinos, caracterizaremos a ese campo de velocidades diciendo que rot v = 0. Cuando se destapa la salida ubicada en el fondo de un recipiente con agua, tendremos un rotor no nulo cuyo vector resultante será coincidente con el centro de la abertura.
El gradiente de un campo vectorial es la máxima derivada direccional en un punto de la misma. Para comprender su significado consideremos al campo vectorial constituido por la fuerza de gravedad. Además, consideremos una pequeña bolita que es abandonada en la ladera de una montaña. El movimiento de esa bolita exploradora determinará la máxima pendiente. Así, en cada punto de la montaña podremos asociar un vector y tendremos al campo vectorial gradiente.
Para saber cuántas líneas de fuerza eléctrica parten (o entran) de una carga eléctrica, podemos encerrarla con una esfera imaginaria y así podremos "contar" las líneas mencionadas. Si, con la esfera medidora, encerramos a una carga positiva, la divergencia tendrá un valor distinto de cero, mientras que si encerramos igual cantidad de cargas positivas como negativas, la divergencia será nula. La divergencia se aplica a los campos vectoriales, pero su resultado no es un vector, sino un número (magnitud escalar).
Respecto de las ecuaciones de Maxwell, podemos interpretarlas de la siguiente manera: la primera indica que las cargas eléctricas (cuya densidad volumétrica se indica en el miembro derecho de la igualdad) producen un campo vectorial eléctrico E, cuyas líneas de fuerza tienen origen y fin. La segunda indica que un campo magnético estático está constituido por líneas de fuerzas cerradas (sin origen ni fin). Estas ecuaciones se justifican mediante el teorema de Gauss (por Carl Gauss (1777-1855) ). La tercera es la ecuación de Ampere-Maxwell e indica que a un campo magnético B lo produce la circulación de una densidad de corriente eléctrica J y también una variación temporal del campo eléctrico E, tal como se vio antes. La cuarta indica que a un campo eléctrico dinámico E lo produce un campo magnético variable B, lo que constituye la ley de inducción electromagnética de Faraday.
Hendrk Lorentz (1853-1928) agrega a estas ecuaciones una quinta, la que expresa a la fuerza de Lorentz y que se utiliza en la descripción del movimiento de partículas cargadas eléctricamente moviéndose en campos eléctricos y magnéticos.
Capítulo 12:
Potenciales y lagrangiano
En la mecánica podemos vincular a la energía potencial gravitacional con la fuerza de gravedad mediante la siguiente expresión:
Fuerza = - grad U = - gU
siendo gU = dU / dx + dU / dy + dU / dz (derivadas parciales)
Decimos que la fuerza es el gradiente de la energía potencial gravitatoria. Esta igualdad puede comprenderse considerando la existencia de superficies equipotenciales, que serían superficies de igual nivel (como las marcas que deja el agua al sumergir parcialmente a una montaña). El gradiente resulta ser un campo vectorial perpendicular a las superficies de nivel, que en realidad son esferas concéntricas con la Tierra. En cuanto al signo menos, debemos tener presente que al alejarnos de la Tierra, aumenta la energía potencial, mientras que las líneas de fuerza gravitacionales tienen sentido opuesto a ese crecimiento de U.
Si buscamos la divergencia de dicha fuerza, en una zona en donde no existe distribución de masa, dicha divergencia será nula (ya que en la esfera medidora entran tantas líneas de fuerza como las que salen de ella). Aplicando nuevamente el operador vectorial nabla (g) tendremos:
div F = g. F = 0 o también g²U = 0
esta última es la ecuación de Laplace, mientras que si realizamos una evaluación similar en zonas en donde existe una distribución de masa distinta de cero, tendremos:
g²U = Ø
Esta es la ecuación de Poisson (por Denis Poisson (1781-1840))
Para obtener las ecuaciones de Laplace y de Poisson en electrostática, se definió previamente al potencial escalar eléctrico V, de tal manera que:
E = - gV g²V = 0 g²V = ro
lo que da lugar a la ecuación de Laplace para zonas en donde no hay cargas eléctricas y a la ecuación de Poisson para lugares con densidad de carga distinta de cero.
Para obtener algunas ventajas matemáticas posteriores, se definió también al potencial vectorial magnético A, que está vinculado a la densidad de flujo magnético B, de la siguiente forma:
B = rot A = g x A
Pudo establecerse la anterior igualdad ya que, en la segunda ecuación de Maxwell, al ser div B = 0, puede aplicarse una identidad del cálculo vectorial que indica que la divergencia de un rotor es siempre nula. Al adoptar este potencial vectorial, la intensidad de campo eléctrico quedará:
E = - gV - dA / dt (derivada parcial)
Debido a que el rotor implica derivadas parciales respecto de las coordenadas espaciales x, y, z, si al potencial vectorial le agregamos el gradiente de una función arbitraria, no cambiará el valor de los campos B y E. Esto se debe a que siempre se cumple que rot grad f = 0, cualquiera sea f, luego:
A = A' + gX V = V' - (1 / c) dX / dt (derivada parcial)
Estas últimas igualdades, que permiten introducir una función arbitraria, se conocen como transformación gauge electromagnética, que es una calibración invariante. Junto a la transformación gauge cuántica habrá de desempeñar un importante papel en la física del siglo XX.
Para la descrpción de la radiación de ondas electromagnéticas se establece la condición de Lorentz, que vincula ambos potenciales:
div A = - (1 / c²) dV / dt (derivada parcial)
Es oportuno destacar que es posible encontrar un lagrangiano de Maxwell, el que, al ser introducido en la ecuación de Euler-Lagrange, permite encontrar las ecuaciones de Maxwell. Debe aclararse que, en el caso de los campos de fuerzas, el lagrangiano es una densidad de energía. La función mencionada es la siguiente:
L = 1/2 (E² - B²) - (ro) V + J A
A la primera parte la llamaremos Lem (lagrangiano del campo electromagnético), es decir, a 1/2 (E² - B²), y al resto le llamaremos Lint (lagrangiano de la interacción). Tal interacción es la de dicho campo y las fuentes que lo producen (densidad de cargas y corrientes). Esta distinción es importante para aplicaciones posteriores.
Podemos decir que toda la física clásica (mecánica y electromagnetismo) puede describirse a partir de la ecuación de Euler-Lagrange.
